Математические загадки

Введение

   Головоломка – непростая  задача, при  решении  которой  можно  проверить свои  мыслительные  способности. Это  отличная  гимнастика  для  тренировки  мозга. Решение  головоломок  расширяет  словарный  запас, облегчает  общение  с  людьми,  позволяет  научиться лучше считать  в  уме, повышает  наблюдательность  и  проницательность. Задачки-головоломки учат  нас  по-новому  решать повседневные  проблемы, в  том  числе  и  благодаря  использованию  нестандартного  способа  мышления.

Виды головоломок

   Общепринятая классификация головоломок отсутствует, можно лишь условно разделить их на несколько групп:

Устные головоломки — задачи, полное условие которых может быть сообщено в устной форме, не требующие для решения привлечения никаких дополнительных предметов (загадки, шарады, логические задачи)

Головоломки с предметами — логические задачи с обычными бытовыми предметами (головоломки со спичками, головоломки с монетами, карточные головоломки)

Механические головоломки – это самостоятельный объект, состоящий из одной или более частей, содержащий задачу для одного человека, решаемую манипуляциями с помощью логики, рассуждений, озарения, везения и терпения. (кубик Рубика, пятнашки, танграм, пазлы)

Печатные головоломки — напечатанные или нарисованные «картинки», в которых надо нарисовать какие-то символы по определенным правилам (кроссворд, ребус, судоку, японский кроссворд)

Из истории

   Головоломки  появились  ещё  в  глубокой  древности, поскольку  их  находят  при раскопках  древних  цивилизаций, в  древних  манускриптах,  на  стенах  древних  египетских    пирамид.  К  самым  древним  головоломкам  можно  отнести  различные  верёвочные  головоломки, самой  известной  из  которых  является  знаменитый Гордиев узел. Его  не  могли  развязать  400 лет, а  история  об  Александре  Македонском, который  решил  эту  проблему,  разрубив  узел, вошла  в  историю,  теперь  название  этой  головоломки  употребляют  как  название  сложной  задачи.

   Немногие  поклонники  пазлов  задумываются  о  том,  откуда  же  началась  история  этой  популярной  головоломки. Первый  экземпляр  прототипа  современной  игры  появился  в  Англии  в  середине 18  века.  Его  автором  стал  Джон  Спилсберси,  который  сделал  учебное  пособие  по  географии,  используя  карту  и  разделил  её  на  множество  небольших  кусочков.  Идея была  в  том,  чтобы  собирая  рисунок  ученики  могли  внимательнее  изучать  карту  и  запоминать  все  географические  наименования.  Каждый  такой  кусочек  содержал  информацию  и  находка  оказалась  действительно  полезной. Наиболее  широкое  распространение  головоломки  получили  на  рубеже  19 и 20 веков. Благодаря  деятельности  американца  Сэма Лэйда  и  англичанина Генри Дьюдени  головоломки  проникли  во  многие  периодические  издания, стали  популярны  среди  широких  слоёв  населения.  Ллойд  считается  автором  популярной во  всём  мире  головоломки  «Пятнашки».  Игра  настолько  была  популярной,  что  некоторые  работодатели  вынуждены  были  издать  приказ  о  запрете  приносить  её  на  работу.  В  Китае  одной  из  древнейших  считается  головоломка  танграм,  суть  которой  в  том,  чтобы  составить  определённую  фигуру  из 7  элементов  неправильной  формы.  Этой  игрой,  как  писал  Льюис  Кэрролл, в своей  книге  «Модная  китайская  головоломка»  увлекался  Наполеон, когда  был  сослан  на  остров  святой  Елены.

   Современная индустрия головоломок стремительно развивается. Постоянно на рынке появляются новые игры, конструкции и издания, призванные держать интеллект человека в тонусе, развивать логику, тренировать нестандартное мышление и повышать интеллектуальный уровень в целом.

Роль математики в умственном воспитании, в развитии интеллекта неоспорима. Это объясняется тем, что результатами обучения математике являются не только знания, но и определенный стиль мышления. Однако логическое и математическое мышление возможно формировать не только на уроках математики, а также и в свободное от учёбы время. Но, к сожалению, большинство учащихся  в перерывах между уроками проявляют интерес к играм на телефонах и планшетах, тем самым «забивая голову» бесполезной информацией. Я считаю, что это свободное время можно провести с интересом и пользой для ума – решение ребусов и головоломок является самым подходящим вариантом. Они развивают умственные способности детей, которые необходимы для успешного обучения в школе: память, образное и логическое мышление, творческие способности, фантазию, воображение, конструктивное мышление.

   Решение головоломок, как правило, требует логического мышления или математической сообразительности, но не специальные знания высокого уровня. А значит, люди разного возраста и образования могут легко организовать свой интеллектуальный досуг. Процесс разгадывания головоломок является эффективным способом развития подрастающего поколения, повышает интеллект и сообразительность  в любом возрасте, пробуждает скрытые возможности человека.

   Эти игры-головоломки вызывают у детей огромный интерес, удивление эмоционально захватывает. Процесс решения, поиска ответа, основанный на интересе к задаче, положительном эмоциональном отношении к ней, невозможен без активной мыслительной деятельности. Такие важные качества как смекалка, находчивость, инициатива проявляются лишь в умственной деятельности, основанной на непосредственном интересе. В таких играх появление у ребёнка способности к самоконтролю и саморегуляции своей деятельности значительно повышает уровень осознанности своих действий и поведения, что является важнейшим условием интеллектуального развития ребёнка. Головоломки позволяют формировать у детей гибкость, инициативность мыслительных процессов, способность переносить сформированные умственные действия на новое содержание.
Кроме того, игры-головоломки помогают формировать у детей такие жизненно важные качества как находчивость, самостоятельность, быстрота, ловкость, привычка к трудовому усилию, активная позиция. Все эти качества необходимы для успешного овладения учебными дисциплинами в школе.

  Помимо этого разные механические головоломки весьма сильно влияют на образное мышление. Образное мышление позволяет наиболее полно (по сравнению с другими типами мышления) воссоздавать все многообразие различных фактических характеристик объекта. Важной особенностью образного мышления является установление непривычных сочетаний объектов и их свойств. Развитое образное мышление – это залог хорошего воображения, фантазии, креативности и быстроты мыслительных процессов. Еще Аристотель отмечал, что человек не может думать без мысленного образа. Мысленный образ, крайне важен, так как позволяет человеку ориентироваться в действиях, нацеливаться на результат и стремиться к его достижению. Мысленный образ отражает реальную действительность в новых, непривычных, неожиданных сочетаниях и связях, а, следовательно, активизирует творческую составляющую личности. Образное мышление невероятно быстрое. Например, скорость наглядно-образной памяти в среднем равна 60 бит/сек. Для сравнения, скорость абстрактной памяти всего 7 бит/сек. А это почти в 9 раз медленнее!  В итоге, человек, в полной мере использующий возможности образного мышления, способен мыслить, запоминать и воспроизводить информацию намного быстрее, чем остальные.

Папирус Ахмеса

Древние египтяне были не только опытными строителями пирамид, но и прекрасными математиками. Доказательством этому служит древнеегипетский папирус, автором которого был некий Ахмес. Как выяснили исследователи-египтологи, папирус Ахмеса — копия очень древнего математического сборника, составленного во времена фараона Аменемхета III (приблизительно 1853-1806 гг. до н.э.). Задач в сборнике много — ниже одна из них.

Папирус Ахмеса: решение

Пусть w — количество зерна для первого работника,
d — разница в количестве зерна между двумя работниками, следующими по порядку.
Составим два равенства.
5w + 10d = 100
7*(2w + d) = 3w + 9d
Остается только решить уравнение с двумя неизвестными.

Ответ:
1-ый работник = 10/6 мер зерна,
2-ой = 65/6 мер зерна,
3-ий = 120/6 (то есть 20) мер зерна,
4-ый = 175/6 мер зерна,
5-ый = 230/6 мер зерна.

Задача о переправе

Не только древние египтяне упражнялись в решении задач на сообразительность. Историки обнаружили книгу, написанную на латыни, под названием «Задачи для развития молодого ума». Ирландский богослов, ученый и просветитель Алкуин, живший в IX веке, собрал в книге 53 задачи. Предлагаем одну из них — настолько «бородатую», что ее знают школьники во всем мире.

Как крестьянину перевезти все в целости и сохранности?

Переправа: решение

Рассуждаем логически!

• Крестьянин перевозит козу (иначе потеряет часть имущества).
• Возвращается.
• Перевозит капусту (или волка), а козу увозит обратно.
• Козу оставляет на первом берегу.
• Перевозит волка (или капусту) на другой берег.
• Возвращается.
• Перевозит козу.

Печать царя Соломона

На гробнице мудрого легендарного библейского царя Соломона потомки изобразили знаменитую печать правителя.

Попробуйте сосчитать, сколько равносторонних треугольников изображено на печати.

Печать царя Соломона: ответ

31 треугольник.

Задача Фибоначчи о размножении кроликов

Леонардо Пизанский (около 1170 г.р.), по прозвищу Фибоначчи, — один из первых именитых математиков средневековой Европы. Он успешно участвовал в математических турнирах, а, создав себе имя, придумывал для них занимательные задачи. Ниже одна из самых известных.

«Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца.
Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов».

Сколько пар кроликов будет в огороженном месте через 12 месяцев с начала размножения?

Подсказка Вспомните последовательность Фибоначчи или запаситесь терпением — и считайте.

Задача Фибоначчи: решение

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …, …, …

Ответ:
233 пары.

Задача Тартальи «Трудное наследство»

Никколо Тарталья (1499 г.р.), итальянский математик, обнаруживший общий алгоритм решения кубических уравнений. Описанный Никколо метод вошел в историю математики как Формула Кардано, по имени первого публикатора метода, до которого независимо друг от друга додумались Тарталья и Сципион дель Ферро.

Предлагаем решить ставшую известной задачу Тартальи о дележе лошадей.

Как выполнить завещание?

Задача Тартальи: решение

Сам Тарталья предложил следующее решение.
Для раздела имеющихся лошадей необходимо заимствовать еще одну, после чего их общее количество станет 18. Раздел этого количества даст 2, 6 и 9 лошадей, которых в сумме окажется 17.
Одна лошадь из 18 оказалась как бы «лишней» — это заимствованная лошадь, которую следует вернуть владельцу после раздела имущества.

Можно решить головоломку и арифметическим способом:
пропорцию 1/2 : 1/3 : 1/9 достаточно умножить на 18 и получится тот же результат.

Ответ:
2, 6 и 9 лошадей.

«Безумный разрез» Мартина Гарднера

Мартин Гарднер — известный американский писатель, математик-любитель, автор множества статей и книг по занимательной математике, научно-популярных этюдов, математических фокусов, головоломок и задач на сообразительность и множества других публикаций.

Предлагаем решить одну из самых популярных головоломок Гарднера.

Сделайте один разрез (или нарисуйте одну линию) — не обязательно, прямую — чтобы разделить нарисованную фигуру на две одинаковые части.

«Безумный разрез» Гарднера: ответ

Намёк был верен. Линия действительно изогнутая.

Сингапурская головоломка

Благодаря социальным сетям некоторые головоломки распространяются, как вирус, и становятся известными. Так случилось с головоломкой, которую телеведущий Кеннет Конг из Сингапура разместил на своей странице в фейсбуке, и вскоре ею поделились 4400 человек.

Альфред и Бернард только что познакомились с Шерил и хотят выяснить, когда у нее день рождения.

Шерил показала поклонникам 10 возможных дат:

Затем она показала Альфреду месяц своего рождения, а Бернарду — день.

Чтобы решить головоломку, друзья обменялись парой реплик:

Так когда же у Шерил день рождения?

Сингапурская головоломка: решение

Даты находятся в промежутке от 14 до 19. Числа 18 и 19 встречаются по разу. Если день рождения в эти даты, то Бернард сразу бы сказал месяц.

Если Шерил сказала Альфреду, что родилась в мае или июне, значит, день рождения может быть 19 мая или 18 июня. Раз Альфред точно знает, что Бернард не знает ответ, значит, речь не о мае или июне. Остаются июль или август.

В июле и августе остались даты в диапазоне от 15 до 17, а 14 встречается дважды. Если бы день рождения был 14-го, то Бернард после реплики Альфреда еще не мог бы дать точного ответа. Значит, речь не о 14-ом. Остаются 16 июля, 15 августа и 17 августа.

Если бы Шерил сказала Альфреду, что родилась в августе, то после ответа Бернарда, Альфред не мог бы точно узнать дату рождения — ведь целых 2 даты приходятся на август.
Значит, Шерил родилась 16 июля.

Ответ:
16 июля.

Эту задачку Конгу показала племянница друга. Она же разыграла телеведущего, сказав, что головоломка предназначена для 10-летних школьников.

Дебаты о том, как решить «простую» задачку, развернулись нешуточные. Спустя 2 дня, когда большинство участников сдались, выяснилось, что задача — олимпиадная, для 14-летних школьников.

Танграм

Согласно легенде, головоломка была создана несколько тысяч лет назад тремя древнекитайскими мудрецами для сына императора. Правитель хотел чтобы через простую игру его сын постиг начала математики, научился видеть окружающий мир глазами художника, стал терпеливым, как философ, и осознал, что сложные вещи состоят из простых.

Так появился «Ши-Чао-Тю» — квадрат, разрезанный на семь частей:
5 треугольников (2 больших, 2 маленьких, 1 средний), квадрат и параллелограмм.

Суть «свободной» игры в танграм – собирать из имеющихся деталей по принципу мозаики всевозможные фигурки: животных, птиц, человека, что угодно. Младшим дошкольникам предлагают простой вариант развивающей игры, когда фигурки танграма нужно просто наложить на готовый образец-ответ.

Многие дети в 5-7 лет складывают модели из фигурок рядом с изображением-ответом, даже если размеры вырезанных фигур и деталей на картинке отличаются.

Танграм как головоломка обычно по силам ребенку начиная с 6-7 лет. Все так же — из элементов танграма нужно сложить готовую модель, но на карточке изображен лишь силуэт фигуры.

Вырежьте элементы танграма из бумажного, картонного или другого квадрата, и для начала предлагаем собрать одну из популярных фигурок — бегущего человека, как на рисунке выше.

Помните 2 правила головоломки:
1) необходимо использовать все 7 фигурок головоломки;
2) фигуры не должны накладываться друг на друга.

Показать готовую фигурку

Среди поклонников танграма были Льюис Кэрролл и Наполеон Бонапарт. Считается, что именно «танграмом» назвал игру американский шахматист, изобретатель «пятнашек» и многих других головоломок, Самюэль Лойд.
В 21 веке самые интересные проявления танграма встречаются в дизайне мебели, одежды, ландшафтном дизайне и архитектуре.

Танграм: ответ

 Можно предварительно раскрасить элементы танграма и получится такой человечек:

Головоломка Льюиса Кэрролла

Известный писатель Льюис Кэрролл, тот самый, который создал истории об Алисе и ее приключениях в Стране Чудес и Зазеркалье, еще и очень любил придумывать головоломки и преподавал логику.

Своим маленьким поклонникам Кэрролл часто предлагал такую головоломку:

Задача усложняется особыми условиями ее выполнения:

• карандаш от бумаги отрывать нельзя;
• дважды проводить карандашом в одном месте нельзя;
• пересекать линии нельзя.

Головоломка Льюиса Кэрролла: ответ

Ниже мы изобразили 2 варианта решения. Возможно, вам удастся найти и другие.

«Кубик Рубика» (первоначально был известен как «Магический кубик») — механическая головоломка, изобретённая в 1974 году венгерским скульптором и профессором архитектуры Эрнё Рубиком. Головоломка – это пластмассовый куб, составленный из 27 кубиков меньшего размера, способных вращаться вокруг невидимых снаружи осей. Каждый из девяти квадратов на каждой грани кубика окрашен в один из шести цветов. Повороты граней кубика позволяют переупорядочить цветные квадраты множеством различных способов.

   Задача игрока заключается в том, чтобы, поворачивая грани кубика, вернуть его в такое состояние, когда каждая грань состоит из квадратов одного цвета («собрать кубик Рубика»).

   Считается, что кубик Рубика — лидер среди игрушек по общему количеству продаж: по всему миру было продано порядка 350 млн. кубиков Рубика, как оригинальных, так и различных аналогов. Если их поставить в ряд, то они протянутся почти от полюса до полюса Земли.

 Заключение

   Подводя итог хотелось отметить, что занятия головоломками намного интересней и полезней чем игра в гаджеты.